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递归算法的动态规划重构
解释如何将低效的递归算法转换为动态规划解法。
📝 Contenuto del prompt
请以计算“最长公共子序列”（LCS）问题为例，首先给出一个基于暴力递归的解决方案，并详细分析其时间复杂度和空间复杂度以及存在的重叠子问题。随后，详细阐述如何通过“自顶向下”的记忆化搜索和“自底向上”的动态规划表两种方式来优化该算法。请使用Python语言编写代码片段，并附带详细的中文注释说明状态转移方程的推导过程。