请在不引入复杂数理逻辑符号的前提下，向数学系高年级本科生解释库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）第一不完备性定理的核心证明思路。要求：1. 解释‘哥德尔数’（Gödel numbering）的概念，即如何将符号和命题映射为自然数。2. 构建‘说谎者悖论’的数学对应物，即构造一个命题G，其含义为‘命题G不可被证明’。3. 逻辑推导：如果G是可证明的，则系统是矛盾的（因为G说自己不可证）；如果G是不可证明的，则系统是不完备的（因为G是真的，但无法在系统内证明）。4. 讨论这一发现对希尔伯特计划造成的毁灭性打击及其哲学意义。