Опишите смысл и значение теорем Гёделя о неполноте для оснований математики. Объясните, почему в любой достаточно сложной формальной системе, включающей арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках самой этой системы. Обсудите влияние этих открытий на идеи Гильберта о полноте и непротиворечивости математики.