Énoncez et interprétez le premier théorème d'incomplétude de Gödel. Expliquez comment il démontre que dans tout système formel suffisamment puissant pour contenir l'arithmétique élémentaire, il existe des propositions vraies qui ne peuvent être ni prouvées ni réfutées au sein du système. Quelles sont les implications philosophiques de cette découverte sur la nature de la vérité mathématique ?