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复杂算法的时间复杂度优化与证明
针对一个特定的计算密集型问题，提出优化的算法解决方案并进行数学证明。
📝 Prompt Inhoud
给定一个包含N个整数的无序数组，请设计一个算法找出数组中所有出现次数超过N/3的元素。要求：1. 首先给出一个时间复杂度为O(n log n)的常规解法；2. 进而优化出一个时间复杂度为O(n)且空间复杂度为O(1)的解法（基于摩尔投票法思想的扩展）；3. 详细证明为何该优化算法在数学上是成立的，并讨论其边界条件；4. 用伪代码或Python代码实现该逻辑，并分析其在最坏情况下的表现。