एआई शब्दावली
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Vecteurs Singuliers Gauches
Colonnes de la matrice orthogonale U dans la décomposition SVD, formant une base orthonormée de l'espace de départ et correspondant aux vecteurs propres de AA^T.
Vecteurs Singuliers Droits
Colonnes de la matrice orthogonale V dans la décomposition SVD, formant une base orthonormée de l'espace d'arrivée et correspondant aux vecteurs propres de A^TA.
Matrice Orthogonale
Matrice carrée dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unitaires orthogonaux entre eux, satisfaisant la propriété Q^TQ = QQ^T = I, où I est la matrice identité.
Rang Numérique
Nombre de valeurs singulières supérieures à un certain seuil de tolérance, déterminant le rang effectif d'une matrice dans un contexte numérique où les très petites valeurs sont considérées comme nulles.
Troncature de SVD
Technique de réduction dimensionnelle consistant à ne conserver que les k plus grandes valeurs singulières et leurs vecteurs associés, créant une approximation de rang k de la matrice originale.
SVD Complexe
Extension de la décomposition SVD aux matrices à coefficients complexes, où les matrices U et V deviennent unitaires (U^*U = I) et Σ contient les valeurs singulières réelles non négatives.
Pseudo-inverse de Moore-Penrose
Généralisation de la matrice inverse pour les matrices non carrées ou singulières, calculée efficacement via la décomposition SVD comme A^+ = VΣ^+U^T, où Σ^+ est obtenue en inversant les valeurs singulières non nulles.
Norme de Frobenius
Norme matricielle définie comme la racine carrée de la somme des carrés de tous les éléments, équivalente à la racine carrée de la somme des carrés des valeurs singulières dans le cadre de la décomposition SVD.
Norme 2 (ou Norme Spectrale)
Norme matricielle induite par la norme euclidienne vectorielle, égale à la plus grande valeur singulière de la matrice et mesurant son amplification maximale sur un vecteur unitaire.
Conditionnement de Matrice
Rapport entre la plus grande et la plus petite valeur singulière non nulle, mesurant la sensibilité de la solution d'un système linéaire aux perturbations des données, avec un conditionnement élevé indiquant une matrice mal conditionnée.
SVD Incrémentale
Algorithme de mise à jour de la décomposition SVD lorsque de nouvelles colonnes ou lignes sont ajoutées à une matrice, évitant un recalcul complet et particulièrement utile pour les flux de données en continu.
SVD Aléatoire (Randomized SVD)
Méthode probabiliste accélérant le calcul de la décomposition SVD pour les très grandes matrices en utilisant des projections aléatoires pour capturer le sous-espace dominant avant de calculer la SVD exacte sur cette approximation.
Théorème d'Eckart-Young
Fondement théorique garantissant que la meilleure approximation de rang k d'une matrice (au sens des normes 2 ou de Frobenius) est obtenue par la troncature de sa décomposition SVD aux k plus grandes valeurs singulières.
SVD Épaisse (Thick SVD)
Variante de la décomposition SVD calculant plus de valeurs singulières que le rang théorique de la matrice, utile pour capturer la structure du bruit ou pour des applications en analyse en composantes principales robuste.
SVD Mince (Thin SVD)
Forme économisée de la décomposition SVD où les matrices U et V ne contiennent que les colonnes correspondant aux valeurs singulières non nulles, réduisant la complexité de stockage et de calcul.
Décomposition Bi-orthogonale
Alternative à la SVD pour les matrices non normales, décomposant une matrice A en XBY^T où X et Y sont des matrices inversibles et B est bidiagonale, servant d'étape intermédiaire dans certains algorithmes de calcul de SVD.