Глоссарий ИИ
Полный словарь искусственного интеллекта
Левые сингулярные векторы
Столбцы ортогональной матрицы U в сингулярном разложении (SVD), образующие ортонормированный базис исходного пространства и соответствующие собственным векторам матрицы AA^T.
Правые сингулярные векторы
Столбцы ортогональной матрицы V в сингулярном разложении (SVD), образующие ортонормированный базис пространства прибытия и соответствующие собственным векторам матрицы A^TA.
Ортогональная матрица
Квадратная матрица, столбцы и строки которой являются взаимно ортогональными единичными векторами, удовлетворяющая свойству Q^TQ = QQ^T = I, где I — единичная матрица.
Численный ранг
Количество сингулярных чисел, превышающих определенный порог допуска, определяющее эффективный ранг матрицы в численном контексте, где очень малые значения считаются нулевыми.
Усеченное сингулярное разложение
Метод снижения размерности, заключающийся в сохранении только k наибольших сингулярных чисел и соответствующих им векторов, создающий приближение ранга k исходной матрицы.
Комплексное сингулярное разложение
Расширение сингулярного разложения на матрицы с комплексными коэффициентами, где матрицы U и V становятся унитарными (U^*U = I), а Σ содержит неотрицательные действительные сингулярные числа.
Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза
Обобщение обратной матрицы для неквадратных или вырожденных матриц, эффективно вычисляемое с помощью сингулярного разложения как A^+ = VΣ^+U^T, где Σ^+ получается путем обращения ненулевых сингулярных чисел.
Норма Фробениуса
Матричная норма, определяемая как квадратный корень из суммы квадратов всех элементов, эквивалентная квадратному корню из суммы квадратов сингулярных чисел в рамках сингулярного разложения.
Норма 2 (или Спектральная норма)
Матричная норма, индуцированная векторной евклидовой нормой, равная наибольшему сингулярному числу матрицы и измеряющая ее максимальное усиление на единичном векторе.
Число обусловленности матрицы
Отношение наибольшего и наименьшего ненулевого сингулярных чисел, измеряющее чувствительность решения системы линейных уравнений к возмущениям данных, при этом высокое число обусловленности указывает на плохо обусловленную матрицу.
Инкрементальное SVD
Алгоритм обновления разложения SVD при добавлении новых столбцов или строк в матрицу, позволяющий избежать полного пересчета и особенно полезный для непрерывных потоков данных.
Рандомизированное SVD (Randomized SVD)
Вероятностный метод, ускоряющий вычисление разложения SVD для очень больших матриц путем использования случайных проекций для захвата доминирующего подпространства перед вычислением точного SVD на этой аппроксимации.
Теорема Эккарта-Янга
Теоретическая основа, гарантирующая, что лучшая аппроксимация ранга k матрицы (в смысле норм 2 или Фробениуса) получается путем усечения ее разложения SVD до k наибольших сингулярных чисел.
Толстое SVD (Thick SVD)
Вариант разложения SVD, вычисляющий больше сингулярных чисел, чем теоретический ранг матрицы, полезный для захвата структуры шума или для приложений в робастном анализе главных компонент.
Усеченное SVD (Thin SVD)
Экономная форма разложения SVD, в которой матрицы U и V содержат только столбцы, соответствующие ненулевым сингулярным числам, что снижает сложность хранения и вычислений.
Биортогональное разложение
Альтернатива SVD для ненормальных матриц, представляющая разложение матрицы A в виде XBY^T, где X и Y — обратимые матрицы, а B — двухдиагональная матрица, служащая промежуточным этапом в некоторых алгоритмах вычисления SVD.