AI用語集
人工知能の完全辞典
左特異ベクトル
特異値分解（SVD）における直交行列 U の列ベクトル。定義域の正規直交基底を形成し、AA^T の固有ベクトルに対応する。
右特異ベクトル
特異値分解（SVD）における直交行列 V の列ベクトル。値域の正規直交基底を形成し、A^TA の固有ベクトルに対応する。
直交行列
列ベクトルおよび行ベクトルが互いに直交する単位ベクトルである正方行列。Q^TQ = QQ^T = I（I は単位行列）という性質を満たす。
数値ランク
ある許容閾値より大きい特異値の数。非常に小さな値をゼロとみなす数値計算の文脈において、行列の実効的なランクを決定する。
SVDの打ち切り
上位 k 個の最大特異値とそれに関連するベクトルのみを保持する次元削減手法。元の行列のランク k の近似を作成する。
複素特異値分解
複素数係数を持つ行列への特異値分解の拡張。ここでは行列 U および V はユニタリ行列（U^*U = I）となり、Σ は非負の実数特異値を含む。
ムーア・ペンローズの擬似逆行列
非正則行列や非正方行列に対する逆行列の一般化。特異値分解を用いて A^+ = VΣ^+U^T として効率的に計算される。ここで Σ^+ は、ゼロでない特異値の逆数をとることで得られる。
フロベニウスノルム
すべての要素の二乗和の平方根として定義される行列ノルム。特異値分解の文脈では、特異値の二乗和の平方根に等しい。
2ノルム（またはスペクトルノルム）
ベクトルのユークリッドノルムから誘導される行列ノルムであり、行列の最大特異値に等しく、単位ベクトルに対する最大の増幅度を表します。
行列の条件数
非ゼロの最大特異値と最小特異値の比であり、データの摂動に対する線形システムの解の感度を測定します。条件数が高い場合、その行列は悪条件であることを示します。
増分SVD (インクリメンタルSVD)
行列に新しい列や行が追加された際にSVD分解を更新するアルゴリズムであり、完全な再計算を回避するため、特に継続的なデータストリームに対して有用です。
ランダムSVD
非常に大きな行列のSVD分解の計算を加速させる確率的な手法で、ランダム射影を用いて支配的な部分空間を捉え、その近似に対して正確なSVDを計算します。
エッカート・ヤングの定理
行列のランクkによる最良の近似（2ノルムまたはフロベニウスノルムの意味で）は、そのSVD分解を最大のk個の特異値で切り詰めることによって得られることを保証する理論的基礎です。
Thick SVD (厚型SVD)
行列の理論的なランクよりも多くの特異値を計算するSVD分解の変種であり、ノイズの構造を捉えたり、ロバスト主成分分析などの用途に役立ちます。
Thin SVD (縮約SVD)
行列UとVが非ゼロの特異値に対応する列のみを含むSVD分解の省スペース形式であり、記憶容量と計算の複雑さを削減します。
双直交分解
正規行列でない行列に対するSVDの代替案であり、行列AをXBY^T（XとYは可逆行列、Bは双対角行列）に分解するもので、一部のSVD計算アルゴリズムにおける中間ステップとして機能します。